Representations, spaces & metrics

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Slide 1

CPSY 1291 Computational Methods for Mind, Brain & Behavior

Lecture 1 · Theme 1: Representational spaces

Representations, spaces & metrics

Tuesday, September 15 · Fall 2026

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40	5.73319149017334
41	4.200764179229736
42	2.234212875366211
43	0.1931634545326233
44	3.8264524936676025
45	5.775222301483154
46	6.163758754730225
47	3.3492534160614014
48	2.06662917137146
49	0.9378896951675415

Symbol	Meaning
$\mathbf{x}$ (bold lowercase)	a vector: the whole list of numbers for one object
$x_j$ (italic, subscript)	its $j$ th component, a single number
$\mathbf{x}^{(i)}$ , $\mathbf{x}^{(i,r)}$	the vector for image $i$ ; the same image on repetition $r$
$\mathbf{X}$ (bold uppercase)	a matrix: many vectors stacked, one image per row
$x_{ij}$	its entry in row $i$ , column $j$ : feature $j$ of image $i$
$\mathbf{x}^{\top}$	the transpose: the same numbers laid out as a row instead of a column
$\lVert\mathbf{x}\rVert$	the length of the vector
$D$ , $N$	the number of measurements per object; the number of objects

Measurement	$D$
Two image features	2
Resampled grayscale image	784
Recorded IT population	482
Human early visual cortex (voxels)	210
Network layer (sampled units)	4,096

Image	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Frog	0	1.50632	1.91624	0.808512	1.47299	0.175154	0.140649	0.404271	0	2.33411	1.2167	0
Eagle	0.458388	2.92822	0	3.31246	0	1.02485	0	0	2.55215	0.375627	0	0
Elephant	0	0	0	0	0	2.36111	0.893581	1.19751	0	0	0	1.68677
Tiger	1.79969	1.4101	0.715838	1.17101	0	0	1.33392	1.81538	0	1.41507	5.86363	0
Penguin	0.193498	6.31189	1.43532	1.32358	0.0819631	1.5898	1.48635	0.996542	0.491736	0	1.83932	0
Gorilla	0	3.94947	1.62085	0	1.73141	0	0	0.0780798	0	1.20641	0	2.261

Entry	Original intensity	Scaled intensity (c = 0.5)
1	18	9
2	27	13.5
3	26	13
4	18	9
5	20	10
6	32	16
7	27	13.5
8	37	18.5
9	33	16.5
10	33	16.5
11	59	29.5
12	46	23
13	53	26.5
14	43	21.5
15	40	20
16	32	16
17	54	27
18	35	17.5
19	48	24
20	49	24.5
21	23	11.5
22	25	12.5
23	27	13.5
24	21	10.5
25	24	12
26	25	12.5
27	17	8.5
28	19	9.5
29	22	11
30	21	10.5
31	32	16
32	28	14
33	26	13
34	37	18.5
35	28	14
36	38	19
37	49	24.5
38	44	22
39	70	35
40	77	38.5
41	84	42
42	74	37
43	57	28.5
44	48	24
45	44	22
46	55	27.5
47	41	20.5
48	33	16.5
49	35	17.5
50	29	14.5
51	33	16.5
52	30	15
53	29	14.5
54	37	18.5
55	31	15.5
56	34	17
57	39	19.5
58	36	18
59	45	22.5
60	46	23
61	51	25.5
62	55	27.5
63	56	28
64	66	33
65	54	27
66	57	28.5
67	94	47
68	82	41
69	86	43
70	57	28.5
71	69	34.5
72	60	30
73	50	25
74	51	25.5
75	43	21.5
76	43	21.5
77	40	20
78	49	24.5
79	42	21
80	40	20
81	32	16
82	41	20.5
83	33	16.5
84	30	15
85	60	30
86	49	24.5
87	46	23
88	58	29
89	87	43.5
90	99	49.5
91	107	53.5
92	107	53.5
93	102	51
94	85	42.5
95	94	47
96	65	32.5
97	55	27.5
98	56	28
99	69	34.5
100	59	29.5
101	63	31.5
102	58	29
103	42	21
104	49	24.5
105	50	25
106	57	28.5
107	55	27.5
108	34	17
109	40	20
110	45	22.5
111	40	20
112	36	18
113	75	37.5
114	63	31.5
115	86	43
116	90	45
117	65	32.5
118	61	30.5
119	81	40.5
120	84	42
121	126	63
122	124	62
123	116	58
124	64	32
125	56	28
126	59	29.5
127	55	27.5
128	63	31.5
129	69	34.5
130	60	30
131	45	22.5
132	47	23.5
133	51	25.5
134	46	23
135	44	22
136	47	23.5
137	36	18
138	38	19
139	32	16
140	20	10
141	82	41
142	84	42
143	70	35
144	41	20.5
145	47	23.5
146	48	24
147	48	24
148	68	34
149	77	38.5
150	95	47.5
151	113	56.5
152	108	54
153	92	46
154	79	39.5
155	78	39
156	89	44.5
157	101	50.5
158	75	37.5
159	50	25
160	66	33
161	64	32
162	63	31.5
163	52	26
164	54	27
165	46	23
166	34	17
167	41	20.5
168	44	22
169	106	53
170	98	49
171	45	22.5
172	47	23.5
173	55	27.5
174	46	23
175	62	31
176	61	30.5
177	69	34.5
178	75	37.5
179	65	32.5
180	83	41.5
181	134	67
182	127	63.5
183	108	54
184	63	31.5
185	131	65.5
186	123	61.5
187	125	62.5
188	124	62
189	85	42.5
190	73	36.5
191	45	22.5
192	91	45.5
193	64	32
194	44	22
195	43	21.5
196	42	21
197	146	73
198	42	21
199	51	25.5
200	58	29
201	51	25.5
202	65	32.5
203	50	25
204	77	38.5
205	66	33
206	77	38.5
207	72	36
208	77	38.5
209	85	42.5
210	90	45
211	78	39
212	86	43
213	105	52.5
214	145	72.5
215	101	50.5
216	125	62.5
217	79	39.5
218	73	36.5
219	123	61.5
220	171	85.5
221	73	36.5
222	40	20
223	37	18.5
224	39	19.5
225	98	49
226	43	21.5
227	45	22.5
228	63	31.5
229	53	26.5
230	61	30.5
231	56	28
232	60	30
233	83	41.5
234	69	34.5
235	76	38
236	86	43
237	89	44.5
238	84	42
239	106	53
240	104	52
241	99	49.5
242	93	46.5
243	147	73.5
244	176	88
245	113	56.5
246	95	47.5
247	154	77
248	143	71.5
249	39	19.5
250	34	17
251	33	16.5
252	40	20
253	109	54.5
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255	37	18.5
256	54	27
257	63	31.5
258	58	29
259	69	34.5
260	54	27
261	69	34.5
262	74	37
263	74	37
264	81	40.5
265	73	36.5
266	103	51.5
267	108	54
268	105	52.5
269	84	42
270	124	62
271	127	63.5
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274	119	59.5
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277	76	38
278	49	24.5
279	41	20.5
280	48	24
281	83	41.5
282	51	25.5
283	39	19.5
284	50	25
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286	58	29
287	66	33
288	61	30.5
289	60	30
290	74	37
291	60	30
292	69	34.5
293	98	49
294	113	56.5
295	113	56.5
296	116	58
297	81	40.5
298	158	79
299	124	62
300	121	60.5
301	102	51
302	112	56
303	144	72
304	148	74
305	121	60.5
306	45	22.5
307	38	19
308	41	20.5
309	73	36.5
310	39	19.5
311	39	19.5
312	53	26.5
313	77	38.5
314	65	32.5
315	50	25
316	71	35.5
317	58	29
318	58	29
319	66	33
320	67	33.5
321	103	51.5
322	115	57.5
323	124	62
324	154	77
325	87	43.5
326	176	88
327	140	70
328	117	58.5
329	83	41.5
330	95	47.5
331	134	67
332	189	94.5
333	115	57.5
334	42	21
335	47	23.5
336	49	24.5
337	117	58.5
338	22	11
339	44	22
340	54	27
341	74	37
342	82	41
343	43	21.5
344	67	33.5
345	45	22.5
346	60	30
347	73	36.5
348	72	36
349	104	52
350	125	62.5
351	129	64.5
352	197	98.5
353	88	44
354	136	68
355	122	61
356	109	54.5
357	97	48.5
358	110	55
359	140	70
360	150	75
361	63	31.5
362	52	26
363	39	19.5
364	42	21
365	152	76
366	32	16
367	71	35.5
368	56	28
369	59	29.5
370	72	36
371	36	18
372	48	24
373	61	30.5
374	83	41.5
375	82	41
376	74	37
377	103	51.5
378	125	62.5
379	125	62.5
380	186	93
381	117	58.5
382	146	73
383	139	69.5
384	144	72
385	187	93.5
386	184	92
387	165	82.5
388	102	51
389	43	21.5
390	38	19
391	29	14.5
392	27	13.5
393	185	92.5
394	28	14
395	108	54
396	58	29
397	88	44
398	71	35.5
399	39	19.5
400	40	20
401	44	22
402	78	39
403	96	48
404	81	40.5
405	115	57.5
406	153	76.5
407	178	89
408	212	106
409	124	62
410	189	94.5
411	119	59.5
412	119	59.5
413	199	99.5
414	190	95
415	136	68
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417	79	39.5
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421	41	20.5
422	30	15
423	35	17.5
424	48	24
425	55	27.5
426	62	31
427	42	21
428	34	17
429	57	28.5
430	81	40.5
431	82	41
432	92	46
433	138	69
434	188	94
435	176	88
436	202	101
437	150	75
438	125	62.5
439	115	57.5
440	83	41.5
441	96	48
442	80	40
443	66	33
444	64	32
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447	38	19
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451	53	26.5
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453	65	32.5
454	74	37
455	42	21
456	49	24.5
457	71	35.5
458	85	42.5
459	80	40
460	114	57
461	149	74.5
462	161	80.5
463	180	90
464	189	94.5
465	167	83.5
466	72	36
467	103	51.5
468	95	47.5
469	90	45
470	93	46.5
471	73	36.5
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473	50	25
474	42	21
475	116	58
476	115	57.5
477	97	48.5
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479	88	44
480	82	41
481	75	37.5
482	99	49.5
483	55	27.5
484	80	40
485	82	41
486	76	38
487	81	40.5
488	96	48
489	134	67
490	142	71
491	137	68.5
492	169	84.5
493	130	65
494	73	36.5
495	74	37
496	103	51.5
497	79	39.5
498	92	46
499	73	36.5
500	65	32.5
501	78	39
502	124	62
503	143	71.5
504	113	56.5
505	199	99.5
506	137	68.5
507	144	72
508	108	54
509	77	38.5
510	88	44
511	79	39.5
512	83	41.5
513	70	35
514	69	34.5
515	108	54
516	119	59.5
517	108	54
518	127	63.5
519	155	77.5
520	169	84.5
521	217	108.5
522	214	107
523	192	96
524	169	84.5
525	160	80
526	102	51
527	96	48
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530	124	62
531	135	67.5
532	80	40
533	144	72
534	110	55
535	116	58
536	99	49.5
537	66	33
538	74	37
539	83	41.5
540	78	39
541	69	34.5
542	79	39.5
543	63	31.5
544	87	43.5
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668	55
669	59
670	64
671	57
672	49
673	34
674	26
675	22
676	24
677	24
678	20
679	19
680	21
681	18
682	21
683	46
684	64
685	51
686	92
687	137
688	41
689	59
690	65
691	63
692	80
693	113
694	61
695	53
696	26
697	24
698	34
699	57
700	45
701	20
702	22
703	19
704	19
705	22
706	19
707	22
708	24
709	23
710	26
711	36
712	73
713	63
714	66
715	105
716	66
717	67
718	57
719	46
720	31
721	42
722	38
723	73
724	67
725	64
726	146
727	103
728	70
729	24
730	27
731	21
732	19
733	20
734	21
735	28
736	28
737	30
738	30
739	31
740	38
741	45
742	34
743	38
744	34
745	34
746	35
747	40
748	46
749	82
750	82
751	84
752	76
753	76
754	82
755	71
756	47
757	29
758	30
759	24
760	17
761	18
762	21
763	24
764	25
765	29
766	38
767	62
768	66
769	46
770	46
771	86
772	70
773	76
774	86
775	86
776	95
777	121
778	106
779	98
780	81
781	74
782	72
783	76
784	61

Representations, spaces & metrics

Representations, spaces & metrics

Before we start

What does a brain or network represent?

A representation stands for something

The representation in an image

Color images: three values per pixel

Grayscale: one value per pixel

One image, 784 measured values

The representation in a brain

An image in human visual cortex

Visual selectivity, heard as spikes

One electrode at a time, or hundreds of sites at once

Recording neural populations

From image to response: present an image

From image to response: record and sort spikes

From image to response: estimate a firing rate

One image, several trials: average the rates

An object in a neural population

The representation in an artificial neural network

Visual cortex and convolutional networks

From AlexNet to ResNet

Early, middle and late representations

An object in ResNet-18

Representations as measurements

Notation

Two measurements, two coordinates

A vector is an arrow from the origin

Extending beyond two dimensions

How reliable is one response?

Brain responses are noisy

Electrophysiology is noisy too; averaging works

Average repeated responses to one image

Column vectors and row vectors

Many images form a response matrix

Comparing representations across systems

An RDM compares every pair of images

Want to see inside a network before we get there?

Further reading for the research trail

How to read for the trail

Minute paper

Reference: computing an RDM

Appendix · Scaling image intensity

Appendix · Averaging and blending images

Pixel index (1-based)	Intensity (0–255)
1	18
2	27
3	26
4	18
5	20
6	32
7	27
8	37
9	33
10	33
11	59
12	46
13	53
14	43
15	40
16	32
17	54
18	35
19	48
20	49
21	23
22	25
23	27
24	21
25	24
26	25
27	17
28	19
29	22
30	21
31	32
32	28
33	26
34	37
35	28
36	38
37	49
38	44
39	70
40	77
41	84
42	74
43	57
44	48
45	44
46	55
47	41
48	33
49	35
50	29
51	33
52	30
53	29
54	37
55	31
56	34
57	39
58	36
59	45
60	46
61	51
62	55
63	56
64	66
65	54
66	57
67	94
68	82
69	86
70	57
71	69
72	60
73	50
74	51
75	43
76	43
77	40
78	49
79	42
80	40
81	32
82	41
83	33
84	30
85	60
86	49
87	46
88	58
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92	107
93	102
94	85
95	94
96	65
97	55
98	56
99	69
100	59
101	63
102	58
103	42
104	49
105	50
106	57
107	55
108	34
109	40
110	45
111	40
112	36
113	75
114	63
115	86
116	90
117	65
118	61
119	81
120	84
121	126
122	124
123	116
124	64
125	56
126	59
127	55
128	63
129	69
130	60
131	45
132	47
133	51
134	46
135	44
136	47
137	36
138	38
139	32
140	20
141	82
142	84
143	70
144	41
145	47
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147	48
148	68
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151	113
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154	79
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160	66
161	64
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163	52
164	54
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166	34
167	41
168	44
169	106
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198	42
199	51
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201	51
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203	50
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205	66
206	77
207	72
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215	101
216	125
217	79
218	73
219	123
220	171
221	73
222	40
223	37
224	39
225	98
226	43
227	45
228	63
229	53
230	61
231	56
232	60
233	83
234	69
235	76
236	86
237	89
238	84
239	106
240	104
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242	93
243	147
244	176
245	113
246	95
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248	143
249	39
250	34
251	33
252	40
253	109
254	45
255	37
256	54
257	63
258	58
259	69
260	54
261	69
262	74
263	74
264	81
265	73
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267	108
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269	84
270	124
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272	183
273	148
274	119
275	190
276	153
277	76
278	49
279	41
280	48
281	83
282	51
283	39
284	50
285	68
286	58
287	66
288	61
289	60
290	74
291	60
292	69
293	98
294	113
295	113
296	116
297	81
298	158
299	124
300	121
301	102
302	112
303	144
304	148
305	121
306	45
307	38
308	41
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310	39
311	39
312	53
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314	65
315	50
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317	58
318	58
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343	43
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362	52
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386	184
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388	102
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397	88
398	71
399	39
400	40
401	44
402	78
403	96
404	81
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406	153
407	178
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409	124
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415	136
416	100
417	79
418	36
419	31
420	30
421	41
422	30
423	35
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427	42
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473	50
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484	80
485	82
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487	81
488	96
489	134
490	142
491	137
492	169
493	130
494	73
495	74
496	103
497	79
498	92
499	73
500	65
501	78
502	124
503	143
504	113
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506	137
507	144
508	108
509	77
510	88
511	79
512	83
513	70
514	69
515	108
516	119
517	108
518	127
519	155
520	169
521	217
522	214
523	192
524	169
525	160
526	102
527	96
528	73
529	61
530	124
531	135
532	80
533	144
534	110
535	116
536	99
537	66
538	74
539	83
540	78
541	69
542	79
543	63
544	87
545	79
546	67
547	121
548	95
549	115
550	107
551	71
552	49
553	61
554	40
555	23
556	23
557	21
558	20
559	32
560	47
561	83
562	70
563	68
564	47
565	45
566	36
567	40
568	38
569	80
570	87
571	58
572	71
573	132
574	117
575	89
576	90
577	89
578	86
579	62
580	79
581	82
582	67
583	43
584	22
585	18
586	17
587	11
588	18
589	57
590	44
591	36
592	25
593	27
594	27
595	27
596	30
597	80
598	83
599	52
600	43
601	105
602	107
603	49
604	38
605	45
606	84
607	80
608	74
609	170
610	145
611	83
612	99
613	112
614	140
615	104
616	22
617	38
618	31
619	33
620	27
621	28
622	26
623	27
624	22
625	69
626	72
627	124
628	35
629	111
630	77
631	35
632	31
633	41
634	53
635	49
636	60
637	156
638	111
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640	99
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642	124
643	121
644	38
645	50
646	41
647	28
648	30
649	29
650	24
651	23
652	24
653	32
654	61
655	89
656	46
657	80
658	87
659	35
660	23
661	22
662	30
663	26
664	35
665	71
666	72
667	76
668	55
669	59
670	64
671	57
672	49
673	34
674	26
675	22
676	24
677	24
678	20
679	19
680	21
681	18
682	21
683	46
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687	137
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738	30
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